De una ecuación a un conjunto solución
Antes de calcular, debemos precisar qué objeto estamos resolviendo y qué significa exactamente “solución”.
Ecuación lineal
Sea \(\mathbb F\) un cuerpo, usualmente \(\mathbb R\) o \(\mathbb C\). Una ecuación lineal en las incógnitas \(x_1,\dots,x_n\) es una igualdad
\[a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b,\qquad a_1,\dots,a_n,b\in\mathbb F.\]Los escalares \(a_i\) son los coeficientes; \(b\) es el término independiente.
Sistema y conjunto solución
Un sistema de \(m\) ecuaciones lineales en \(n\) incógnitas es una familia de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Su conjunto solución es
\[\mathcal S=\{x\in\mathbb F^n: x\text{ satisface todas las ecuaciones}\}.\]Un sistema lineal tiene 0, 1 o infinitas soluciones
Un sistema lineal no puede tener exactamente dos, tres ni cualquier número finito mayor que uno de soluciones.
Demostración formal, paso a paso
Supongamos que \(u\neq v\) son dos soluciones de \(Ax=b\). Entonces \(Au=b\) y \(Av=b\).
Para cada \(t\in\mathbb F\), definimos \(x(t)=(1-t)u+tv\). Por linealidad,
\[Ax(t)=(1-t)Au+tAv=(1-t)b+tb=b.\]Por tanto \(x(t)\) es solución para todo \(t\). Como \(u\neq v\), distintos valores de \(t\) producen infinitos puntos de la recta afín que pasa por \(u\) y \(v\). Así, dos soluciones distintas implican infinitas soluciones. □
Dos rectas, tres posibilidades
En \(\mathbb R^2\), cada ecuación no degenerada \(ax+by=c\) representa una recta. Dos rectas pueden ser secantes (una solución), paralelas distintas (ninguna) o coincidentes (infinitas).
Si un sistema tiene dos soluciones distintas, ¿qué puedes concluir sin hacer más cálculos?
Tiene infinitas soluciones, por el Teorema 1.3.
El sistema como ecuación matricial
La notación \(Ax=b\) separa estructura, incógnitas y datos.
Forma matricial
El sistema
\[\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,\ldots,m,\]se escribe \(Ax=b\), con \(A=(a_{ij})\in\mathbb F^{m\times n}\), \(x\in\mathbb F^n\) y \(b\in\mathbb F^m\).
Columnas como generadores
Si \(A=[a_1\ \cdots\ a_n]\), entonces
\[Ax=x_1a_1+\cdots+x_na_n.\]Resolver \(Ax=b\) equivale a decidir si \(b\) puede escribirse como combinación lineal de las columnas de \(A\).
El sistema \(x+2y-z=3\), \(2x-y+3z=4\) se representa mediante
\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&-1&3&4\end{array}\right].\]Por qué las operaciones elementales son legítimas
La eliminación de Gauss funciona porque reemplaza un sistema por otro exactamente equivalente.
Operaciones elementales
- \(R_i\leftrightarrow R_j\).
- \(R_i\leftarrow \lambda R_i\), con \(\lambda\neq0\).
- \(R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j\), \(i\neq j\).
Preservación del conjunto solución
Una operación elemental aplicada a una matriz aumentada produce un sistema con exactamente el mismo conjunto solución.
Demostración formal
Tipo I. Intercambiar dos ecuaciones no cambia las condiciones simultáneas que debe satisfacer un vector.
Tipo II. Si \(E_i(x)=b_i\), entonces \(\lambda E_i(x)=\lambda b_i\). Como \(\lambda\neq0\), la implicación es reversible dividiendo por \(\lambda\).
Tipo III. Sustituya la ecuación \(E_i=b_i\) por \(E_i+\lambda E_j=b_i+\lambda b_j\). Toda solución del sistema original satisface la nueva ecuación. Recíprocamente, si satisface la nueva ecuación y también \(E_j=b_j\), al restar \(\lambda(E_j=b_j)\) recuperamos \(E_i=b_i\). Por tanto los conjuntos solución coinciden. □
Una secuencia finita de operaciones elementales preserva el conjunto solución.
Eliminación sistemática
Gauss lleva la matriz a forma escalonada; Gauss–Jordan continúa hasta la forma escalonada reducida.
- Buscar una columna con entrada no nula en las filas disponibles.
- Colocar una entrada no nula en la posición pivote mediante intercambio si es necesario.
- Usar el pivote para anular las entradas debajo.
- Repetir en la submatriz restante.
- Resolver por sustitución hacia atrás.
de donde \(z=3\), \(y=2\), \(x=1\).
En presencia de parámetros, nunca divida por una expresión como \(\lambda-2\) sin separar antes el caso \(\lambda=2\).
Leer información directamente de la matriz
REF
Una matriz está en forma escalonada por filas si las filas nulas están al final, cada entrada líder aparece estrictamente a la derecha de la anterior y debajo de cada entrada líder hay ceros.
RREF
Además, cada entrada líder es 1 y es la única entrada no nula de su columna.
Unicidad de la RREF
Toda matriz es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada reducida.
Idea rigurosa de la demostración
Las operaciones elementales preservan el espacio generado por las filas. Si dos matrices reducidas \(R\) y \(S\) son equivalentes por filas, generan el mismo espacio fila.
Usando la posición de la primera entrada no nula de cada vector del espacio fila, se demuestra inductivamente que \(R\) y \(S\) tienen las mismas posiciones pivote. Luego, como cada fila pivote está normalizada y tiene ceros en las demás columnas pivote, la combinación lineal que representa cada fila es forzada. Por tanto las filas no nulas correspondientes coinciden y finalmente \(R=S\). □
Decidir existencia y multiplicidad
[0 … 0 | c], c≠0pivote en cada variableal menos una variable libreSi un sistema compatible tiene una variable libre, entonces posee infinitas soluciones.
Demostración
Una variable libre puede asignarse arbitrariamente en \(\mathbb F\). Las variables pivote quedan determinadas como funciones afines de las variables libres. Como \(\mathbb F\) es infinito en los casos usuales \(\mathbb R\) y \(\mathbb C\), se obtienen infinitos vectores solución. □
Cuánta información independiente contiene la matriz
El rango de \(A\) es el número de pivotes de \(\operatorname{RREF}(A)\). Equivalentemente, es la dimensión de su espacio fila.
Invariancia del rango
Si \(A\sim B\) por filas, entonces \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)\).
Demostración
Cada operación elemental reemplaza las filas por nuevas filas que generan el mismo espacio: las nuevas filas son combinaciones lineales de las antiguas y, por reversibilidad, las antiguas son combinaciones de las nuevas. Los espacios fila coinciden, por lo tanto sus dimensiones coinciden. □
Existencia y número de soluciones mediante rango
El sistema \(Ax=b\) es compatible si y sólo si
\[\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]).\]Demostración formal
Reducimos la matriz aumentada \([A\mid b]\) a forma escalonada mediante operaciones elementales. Estas preservan tanto la compatibilidad como el rango de las matrices involucradas.
El sistema es incompatible exactamente cuando aparece una fila de la forma
\[[0\ \cdots\ 0\mid c],\qquad c\neq0,\]que representa \(0=c\). En ese caso la última columna contiene un pivote que no aparece en la parte correspondiente a \(A\), por lo que \(\operatorname{rank}([A|b])>\operatorname{rank}(A)\).
Si no aparece tal fila, ningún pivote adicional está exclusivamente en la columna aumentada y los rangos son iguales. Por tanto compatibilidad y igualdad de rangos son equivalentes. □
La geometría de \(Ax=0\)
El sistema homogéneo \(Ax=0\) tiene una solución no trivial si y sólo si \(\operatorname{rank}(A)<n\).
Demostración formal
Si \(\operatorname{rank}(A)<n\), hay menos pivotes que variables, así que existe una variable libre. Asignándole un valor no nulo apropiado obtenemos una solución distinta de cero.
Recíprocamente, si existe una solución no trivial y hubiera un pivote en cada variable, la sustitución hacia atrás forzaría todas las variables a cero. Contradicción. Por tanto el rango es menor que \(n\). □
Si \(A\in\mathbb F^{m\times n}\) y \(n>m\), entonces \(Ax=0\) posee soluciones no triviales, pues \(\operatorname{rank}(A)\le m<n\).
Una solución particular más todas las homogéneas
Si \(Ax=b\) es compatible y \(x_p\) es una solución particular, entonces
\[\mathcal S=x_p+\ker A=\{x_p+z:z\in\ker A\}.\]Demostración
Si \(z\in\ker A\), entonces \(A(x_p+z)=Ax_p+Az=b\), por lo que \(x_p+z\) es solución.
Recíprocamente, si \(x\) es cualquier solución, \(A(x-x_p)=Ax-Ax_p=b-b=0\), así que \(x-x_p\in\ker A\). Por tanto \(x=x_p+z\) para algún \(z\in\ker A\). □
El número de parámetros libres de \(Ax=0\) es
\[\operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A).\]El caso cuadrado
Para \(A\in\mathbb F^{n\times n}\), son equivalentes:
- \(A\) es invertible.
- \(\operatorname{RREF}(A)=I_n\).
- \(\operatorname{rank}(A)=n\).
- \(Ax=0\) sólo tiene la solución trivial.
- \(Ax=b\) tiene solución única para todo \(b\in\mathbb F^n\).
Cadena de demostración
\((1)\Rightarrow(4)\): si \(Ax=0\), multiplicando por \(A^{-1}\) resulta \(x=0\).
\((4)\Rightarrow(3)\): si el rango fuera menor que \(n\), existiría una variable libre y una solución homogénea no trivial.
\((3)\Rightarrow(2)\): hay un pivote en cada columna; como la matriz es cuadrada y está reducida, la única posibilidad es \(I_n\).
\((2)\Rightarrow(5)\): la reducción de \([A|b]\) produce \([I_n|c]\), que determina una única solución.
\((5)\Rightarrow(1)\): resolviendo \(Ax=e_j\) para cada vector canónico \(e_j\), las soluciones forman las columnas de una matriz \(B\) con \(AB=I_n\); para matrices cuadradas esto implica que \(A\) es invertible. □
Del modelo al significado de la solución
Leyes de Kirchhoff.
Conservación de átomos.
Coeficientes de polinomios.
Conservación de flujo.
Balances de masa.
Problemas de ingeniería.